[Math] 벡터공간

[Math] 벡터공간게임수학2023. 8. 3. 18:40@CGNY

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DX물방울책을 읽으면서 간단하게 정리한 글입니다 :)

Vector란?

크기와 방향을 모두 가진 수량을 가르키는 말입니다.

벡터는 힘이나 변위, 속도를 나타내는데 쓰입니다.

벡터에서 "상등"하다는 말은 두 벡터가 있을 때 오직 길이가 같고 같은 방향을 가리킬 때만 두 벡터는 상등하다고 말할 수 있습니다.

DX물방울 책 P7을 보면은 "우리가 어떤 벡터를 좌표로 규정하거나 식별할 때 그 좌표는 항상 어떤 기준계에 상대적임을 뜻하기 때문이다" 해당 문장을 이해할려고 유튜브 강의나 여러 블로그를 보았습니다.

저는 위의 문장을 (2차원 평면이라 가정) "어떤 벡터공간의 기저는 유일하지 않다"는 말로 이해를 하였습니다.

여기서 "기저"라는 말이 등장하는데 기저는 "어떤 벡터공간 V의 벡터들이 선형독립이면서 벡터공간 V전체를 생성할 수 있다면 이 벡터들의 집합을 말합니다" 라는 식의 설명이 대부분이던데요...ㅠ

여기에 대해 쉽게 설명한 유튜브 강의가 아래 영상입니다.

https://youtu.be/yDrXFlFP6xM

정리하자면 벡터는 선형결합이 가능한데 그냥 벡터끼리 결합한다는 말입니다.

어떤 주머니에 { } 라는 주머니에 벡터가 v1, v2, v3이렇게 있을 때 각각의 벡터에다가 c1, c2, c3와 같은 수를 곱하는데 그러면 { c1v1, c2v2, c3v3 ... } 이런식이 되겠죠?

이때 c1v1 + c2v2 + c3v3 ... 를 다 더해서 "영벡터" 가 나오지 않는다면 이는 각각의 벡터가 "선형 독립"이라는 상태라고 말하고 이 선형 독립의 상태일때 벡터공간을 만들 수 있다는 말입니다. 또한 x, y벡터는 기저벡터라고 할 수 있습니다.

위의 그림판에 조잡하게 그린 그림에서 x라는 벡터와 y의 벡터는 선형독립입니다. 그런데 이 두벡터는 2차원 평면상의 어떠한 점들도 다 표현이 가능합니다.

노란색 벡터를 표현하기 위해서는 3x + 2y를 해주면 됩니다. 다른 어떠한 점에서도 말이죠

그러면 이렇게 무수하게 많은 점들을 표현이 가능하다보니 이 점들을 다 더해보니까 "2차원 평면"이 나온다는 말입니다.